Алгебраическая загадка

[Гиви Чрелашвили]

Найдите ошибку в этом выводе.
То, что он ошибочен, в этом можно убедится хотя бы по результату.

Допустим,

a = b + c

Тогда

1. 4а = 4b + 4c
а
2. 5a = 5b + 5c

Сложим почленно равенства 1. и 2., чтобы получить новое равенство 3.

3. 4a + 5a = 4b + 5b + 4c + 5c

5a, согласно равенству 2., можно заменить на 5b + 5c в левой части
равенства 3., а 5в + 5с, согласно равенству 2, можно заменить на 5а в правой части равенства 3.
Получаем:

4a + 5b +5c = 5a + 4b + 4c

От обеих частей последнего полученного равенства отнимем по 9а
Получим:

5b + 5c - 5a = 4b + 4c - 4a

Выносим за скобки 5 в левой части равенства, а 4 - в правой:

5 * (b + c - a) = 4 * (b + c - a)

Сокращаем на b + c - a

Получаем:

5 = 4

Или

2 + 2 = 5

 

[sergeyr]

Раз a = b + с, то (b + c - a) = 0.
Поэтому из последнего уравнения (которое со скобками) ничего не следует - его можно переписать как 5*0 = 4*0 или 0 = 0.

 

[Neska]

Разделите на телефоне 25 на 24. И также на телефоне умножьте результат на 24.
Что получили?

 

[Гиви Чрелашвили]

Раз a = b + с, то (b + c - a) = 0.
Поэтому из последнего уравнения (которое со скобками) ничего не следует - его можно переписать как 5*0 = 4*0 или 0 = 0.

Совершенно правильный ответ.
На ноль сокращать нельзя.

 

[Гиви Чрелашвили]

Вторую загадку попробуем несколько усложнить.
Я надеюсь, что тут есть люди, знакомые не только с элементарной алгеброй, но и с тригонометрией, производными (на самом низком элементарном уровне) и с теорией функции комплексного переменного (тоже на самом низком элементарном уровне).
Загадку эту можно дать под таким названием: откуда взялось удвоение ?
Итак, насколько вы все знаете, комплексное число z может быть представлено
как сумма x + iy, то есть, сумма действительной и мнимой части.
i - это мнимая единица, то есть, корень квадратный из -1.
На самом деле, комплексные числа нам тут понадобятся минимально.
Всё, что нужно знать, так это то, что, согласно теоремам Эйлера, производная синуса и косинуса от комплексного числа такая же, как производная от синуса и косинуса обычного действительного числа.
То есть,
производная от sin z равна сos z, а производная от cos z равна -sin z.
В этом вы можете мне поверить или проверить, если хотите.
Знак производной обозначим стандартно: '
Умножение обозначим, как *
То есть:

(sin z)' = cos z
(cos z)' = -sin z

Больше ничего из теории функции комплексного переменного нам не понадобится.
Попытаемся подойти к вычислению производных синуса и косинуса комплексного числа несколько другим способом.
Для этого нам понадобится вспомнить две формулы тригонометрии и две формулы для производных.
Тригонометрия:

1. Синус суммы двух аргументов равен синусу первого аргумента, умноженному на косинус второго, плюс синус второго аргумента, умноженному на косинус первого.
Иными словами:
sin (a + b ) = sin a * cos b + sin b * cos a
2. Косинус суммы двух аргументов равен косинусу первого аргумента, умноженному на косинус второго, минус синус первого аргумента, умноженному на синус второго.
Иными словами,
cos (a + b ) = cos a * cos b - sin a * sin b

Производная:

1. Производная от суммы (или разности) двух функций равна сумме (или разности) двух производных этих функций.
Иными словами:
(f(a) + g(b ))' = f'(a) + g'(b )

2. Производная от произведения двух функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведению первой функции на производную второй.
Иными, словами:
(f(a) * g(b ))' = f'(a) * g(b ) + f(a) * g'(b )

Вычисление 1 - производная синуса комплексного числа.

Для начала представим sin z в раскрытом виде:
sin z = sin (x + iy)
Теперь раскроем sin (x + iy) согласно первой формуле тригонометрии:
sin (x + iy) = sin x * cos iy + sin iy * cos x
Теперь берем производную от раскрытой правой части, помня, что производная суммы равна сумме производных (первая формула по производной):

(sin x * cos iy + sin iy * cos x) ' = (sin x * cos iy) ' + (sin iy * cos x) '

Далее, вспомним вторую формулу по производной: производную от произведения двух функций. Получим:

(sin x * cos iy) ' + (sin iy * cos x) ' = (sin x)' * cos iy + sin x * (cos iy)' +
(sin iy)' * cos x + sin iy * (cos x)'

Помним, что производная синуса - это косинус, а производная косинуса - это минус синус (или -1, умноженная на синус).
Раскрываем правую часть:

cos x * cos iy + sin x * (- sin iy) + cos iy * cos x + sin iy * (- sin x) =
cos x * cos iy - sin x * sin iy + cos x * cos iy - sin x * sin iy =
2 * cos x * cos iy - 2 * sin x * sin iy = 2 * (cos x * cos iy - sin x * sin iy)

Теперь вспомним, что такое, согласно второй формуле тригонометрии,
cos x * cos iy - sin x * sin iy
Правильно, это cos (x + iy)
Таким образом, мы имеем окончательно:
2 * cos (x + iy) = 2 * cos z
Получается, что производная синуса комплексного числа равна не просто косинусу комплексного числа, а удвоенному косинусу комплексного числа.
Легко увидеть, что, используя аналогичный метод, мы получаем и то, что производная косинуса комплексного числа равна не просто минус синусу, а удвоенному минус синусу.
Я сейчас сделаю это вывод, но уже без слов, ибо все необходимые формулы вы уже знаете.

Вычисление 2 - производная косинуса комплексного числа.

cos z = cos (x + iy) = cos x * cos iy - sin x * sin iy

(cos x * cos iy - sin x * sin iy) ' = (cos x * cos iy) ' - (sin x * sin iy)' =
(cos x)' * cos iy + cos x * (cos iy)' - (sin x) ' * sin iy - sin x * (sin iy)' =
- sin x * cos iy - cos x * sin iy - cos x * sin iy - sin x * cos iy =
- 2 * sin x * cos iy - 2 * cos x * sin iy = -2 * (sin x * cos iy + cos x * sin iy) =
- 2 * sin (x + iy) = - 2 * sin z

Где же всё-таки ошибка, други мои ?

 

[sergeyr]

cos'(x) = -sin(x), но cos'(ix) = -isin(ix), и т.п.
(Константы в переходах выше не выносились как положено.)

 

[Гиви Чрелашвили]

cos'(x) = -sin(x), но cos'(ix) = -isin(ix), и т.п.
(Константы в переходах выше не выносились как положено.)

Нет, неверно. В этом нет проблемы.
Вы, во-первых, наверно, хотели сказать не ix, а iy.
Во-вторых, вы знакомы с понятием мнимого аргумента, то есть, с мнимой частью комплексного числа ? iy - это мнимый аргумент, рассматривается, как неделимый аргумент. При дифференцировании i (мнимая единица) как коэффициент не выносится за функцию.
Впрочем, это, скажем так, теплый ответ (где-то близко), просто вывод вы сделали неправильный.
Давайте так.
Положим, вы правы.
Давайте пересчитаем производные именно так, как вы предлагаете.
И вы увидите, что коэффициент 2 просто заменится на коэффициент
(1 + i).
Смотрим на примере синуса комплексного числа, от которого надо взять производную.
Вот выражение до того, как мы берем производную от каждого терма.
Вы согласны ?

(sin x * cos iy) ' + (sin iy * cos x) ' = (sin x)' * cos iy + sin x * (cos iy)' +
(sin iy)' * cos x + sin iy * (cos x)'

Вычисляем производные с выносом коэффициента i, как вы и предлагали.
Получаем:

cos x * cos iy – i * sin x * sin iy + i * cos x * cos iy – sin x * sin iy =
(1 + i) * cos x * cos iy – (1 + i) * sin x * sin iy = (1 + i) * (cos x * cos iy – sin x * sin iy) = (1 + i) * cos (x + iy) = (1 + i) * cos z

Ну что, так легче ?
Всё равно фигня получается.

 

[Гиви Чрелашвили]

Ребята, ну, если нет элементарных знаний по теории функции комплексного переменного, то эту загадку вы не отгадаете.
Потому что в выводе ошибки нет.
Ну, максимум, на что обратили внимание, если подходить чисто с точки зрения действительных чисел, для которых i - простой коэффициент, так это то, что надо его выносить за функцию. Для это случая, я сделал специально пересчет. Результат всё равно конфликтует с классической теорией о взятии производной функции от комплексного аргумента.
Я даю подсказку.
Здесь дело в принципе. В подходе.
Сам подход здесь неверен.
Вот только какой именно подход и в чем он неверен ?

 

[sergeyr]

Вы, во-первых, наверно, хотели сказать не ix, а iy.

Я хотел написать правильную формулу, а какая в ней будет переменная - сие безразлично.

При дифференцировании i (мнимая единица) как коэффициент не выносится за функцию.

См. напр. лекцию здесь: http://sernam.ru/lect_math3.php?id=112
Мнимая единица отменно выносится из аргумента по общим правилам.

Давайте так.
Положим, вы правы.
Давайте пересчитаем производные именно так, как вы предлагаете.

А если начать пересчитывать производные именно так (правильно), то становится сразу очевидно где ошибка.

Но если занудствовать, то в частных производных брать надо, раз уж разделили переменную.

 

[Бенни]

Я давно не преподавал ТФКП и практически не помню ее.

Но матанализ я преподаю и могу сказать, что за такие формулы производных мои студенты не получили бы баллов.

По какому аргументу дифференцируются сумма и произведение - по a или по b? (Вообще-то я больше привык к тому, что первыми буквами латинского алфавита обозначаются не переменные, а константы, но это не столь существенно.)

Если a и b - две независимые переменные, а штрих обозначает дифференцирование по a, то (f(a)+g(b ))'=f'(a), (f(a)g(b ))'=f'(a)g(b ). Аналогично с дифференцированием по b.

Вы дифференцируете то по комплексному аргументу в целом, то по его действительной части, то по мнимой, обозначая все эти операции одинаково - штрихом. Отсюда и возникает путаница.

P.S. Написал это, еще не видя сообщения sergeyr'а.

 

[aeg]

Я давно не преподавал ТФКП и практически не помню ее.

Но матанализ я преподаю и могу сказать, что за такие формулы производных мои студенты не получили бы баллов.

По какому аргументу дифференцируются сумма и произведение - по a или по b? (Вообще-то я больше привык к тому, что первыми буквами латинского алфавита обозначаются не переменные, а константы, но это не столь существенно.)

Если a и b - две независимые переменные, а штрих обозначает дифференцирование по a, то (f(a)+g(b ))'=f'(a), (f(a)g(b ))'=f'(a)g(b ). Аналогично с дифференцированием по b.

Вы дифференцируете то по комплексному аргументу в целом, то по его действительной части, то по мнимой, обозначая все эти операции одинаково - штрихом. Отсюда и возникает путаница.

P.S. Написал это, еще не видя сообщения sergeyr'а.

Это не переменные, а константы. И любая функция от этих констант тоже является константой. Производная константы равно нулю.

Так что все производные равны нулю. Неважно, по какой переменной дифференцировать

Там же сказано, что z - это комплексное число, то есть константа, также как и x, и y.

A если x и y сделать переменными, то если они независимы друг от друга, то производная dy/dx и вообще df/dx всё равно получается нулевая, так как изменение x никак на изменение y не влияет.

 

[Гиви Чрелашвили]

Я давно не преподавал ТФКП и практически не помню ее.

Но матанализ я преподаю и могу сказать, что за такие формулы производных мои студенты не получили бы баллов.

По какому аргументу дифференцируются сумма и произведение - по a или по b? (Вообще-то я больше привык к тому, что первыми буквами латинского алфавита обозначаются не переменные, а константы, но это не столь существенно.)

Если a и b - две независимые переменные, а штрих обозначает дифференцирование по a, то (f(a)+g(b ))'=f'(a), (f(a)g(b ))'=f'(a)g(b ). Аналогично с дифференцированием по b.

Вы дифференцируете то по комплексному аргументу в целом, то по его действительной части, то по мнимой, обозначая все эти операции одинаково - штрихом. Отсюда и возникает путаница.

P.S. Написал это, еще не видя сообщения sergeyr'а.

В принципе, все правильно.
По какому аргументу идет дифференциация ?
А короче, можно сказать ?
z = x + iy
Любая функция от z - это функция от двух переменных, типа u (x,y).
В этом случае просто нельзя подходить с точки зрения дифференцирования двух разных функций от одной переменной.
Правильно, в частных производных расчет надо делать.
Кроме того, в теории функции комплексного переменного для взятия производной есть так называемое условие Коши-Римана.
По-другому оно известно как условие д'Аламбера-Эйлера.
Там именно речт идет о том, что комплексная функция - это фунеция от двух аргументов, которую надо брать в частных производных, причем мнимая часть в частных производных должна идти со знаком минус.
Именно это условие хдесь и нарушено.

 

[Гиви Чрелашвили]

Это не переменные, а константы. И любая функция от этих констант тоже является константой. Производная константы равно нулю.

Так что все производные равны нулю. Неважно, по какой переменной дифференцировать

Там же сказано, что z - это комплексное число, то есть константа, также как и x, и y.

A если x и y сделать переменными, то если они независимы друг от друга, то производная dy/dx и вообще df/dx всё равно получается нулевая, так как изменение x никак на изменение y не влияет.

aeg, не говорите ерунду.

 

[Гиви Чрелашвили]

Отгадка присуждается sergeyr и Бенни одновременно.
sergeyr первым сказал, что надо в частных производных делать расчет, однако Бенни более четко сформулировал в чем принципиально была допущена ошибка.

 

[aeg]

aeg, не говорите ерунду.

Цитирую условие:

Итак, насколько вы все знаете, комплексное число z может быть представлено как сумма x + iy, то есть, сумма действительной и мнимой части.

Комплексное число - это константа, а никакая не функция. Производная от константы всегда равна 0.

Корректно было бы определить функцию от комплексной переменной z и разложить её на две части:

w = f(z) = u(x,y)+i*v(x,y),

где z = x+i*y.

А тогда можно и частные производные считать в точке (x,y), проверить их на непрерывность и т.д.

И вообще косинус от комплексной переменной можно выразить через обычный и гиперболический синус и косинус и тем избавиться от i в аргументе:

cos(z) = cos(x+i*y) = cos * cos(i*y) - sin(x) * sin(i*y) = cos(x) * cosh - i * sin(x) * sinh

Вот и получатся действительная и мнимая части для косинуса:

u(x,y) = cos(x) * cosh
v(x,y) = - sin(x) * sinh

А затем посчитать частные производные по x и по y (по правилам для функций действительной переменной) и проверить условия Коши-Римана. Они там выполнены.

Тут не надо никакого ТФКП - i просто выносится из аргумента

 

[Гиви Чрелашвили]

Aeg, причем тут гиперболический синус ?
Прекратите гнать пургу.
Каким образом гиперболический синус позволяет избежать мнимой части ?
Какая связь вообще ?
Кому вы лапшу на уши вешаете ?
Гиперболический синус - это разность e (числа непера) в степени x и e в степени минус x, а потом разность эта делится на 2.
Гиперболический косинус то же самое, только вместо разности сумма.
Где здесь вообще связь с мнимой частью комплексного числа ?
И вообще, вы почему-то всегда появляетесь уже после того, как другие отгадали загадку, а не до того. Причем после этого начинаете говорить что-то несусветное.
Я просто дал определение комлексного числа, чтобы помочь людям освежить их знания. Это вовсе не значило, что в задачи я имел в виду константу.
Я, по-моему, несколько раз сказал, что это функция комплексного аргумента, причем в первом случае функция синуса, а во втором - функция косинуса.
Да сколько уже можно выступать-то ?
Какого вообще рожна вы вмешались, когда задача уже была разгадана ?
Причем еще начали бред нести о независимости двух производных от х и у ?
Здесь как раз наоборот, это функция от двух переменных, а потому как раз производные от х и у очень даже зависят друг от друга. Именно потому здесь и в частных производных расчет делать надо.
Кому действительно интересно, вот линк:

http://physics.herzen.spb.ru/library/umk/tfkp_fmo.pdf

Начните со страницы 36.
В самом начале страницы 39 дана формула для расчета функции комплексного переменного в частных производных.