Я что то не понял, а как из выше указной статьи вытекает обязанность государства <....>
Я подкрепляю то, что выше написал Alaricus. (Только Суд решает, что вытекает из этой статьи).
Если Вы обратите внимание, вся Конвенция состоит не из конкретных положений, а из списка принципов, которые государства обещали уважать. Вернее, принципы достаточно конкретны, но они не детализированы. Например "Каждый имеет право на уважение его личной и семейной жизни, его жилища и его корреспонденции". Но что такое это "уважение"? Что детально требует эта статья? Например, что такое "уважение корреспонденции"? Как нам понять, какое действие по отношению к посланному Вами письму является уважением, а какое нет?
Конвенция не может быть более детализирована, и понятно почему. В каждой стране свои законы. Мы все понимаем, что "уважение корреспонденции" означает (кроме прочего) тайну переписки, но как конкретно эта тайна обеспечивается, в каких условиях и каким образом правоохранительные органы могут эту тайну нарушать - это все решают законы разных стран, и невозможно привести это под общую формулировку.
Роль Суда (ECHR) и состоит в том, чтобы в каждом конкретном случае решить, является ли действие государства, или принятый им закон, нарушением этих принципов или нет.
Разумеется, эта система предполагает, что у разных стран есть более-менее общее понимание, что стоит за принципами. Их понимания могут различаться в деталях, но они все согласны, что "уважение корреспонденции" - это тайна переписки, "уважение жилища" - это невозможность зайти без ордера на обыск/арест/etc, и так далее. Без общего понимания хотя бы большинства принципов система работать не может.
(Последнее замечание: это "общее понимание" - не константа, оно меняется со временем. То, что казалось "уважением" в 1920, может казаться неуважением в 2021.)
как из этого можно вытянуть "необходимость достижения справедливого баланса между конкурирующими интересами однополых пар и общества в целом" мне тоже не понятно.
Это как раз очень просто. В конвенции написано: "Не допускается вмешательство со стороны публичных властей в осуществление этого права,
за исключением случаев, когда такое вмешательство предусмотрено законом и необходимо в демократическом обществе в интересах национальной безопасности и общественного порядка, экономического благосостояния страны, в целях предотвращения беспорядков или преступлений, для охраны здоровья или нравственности или защиты прав и свобод других лиц." Это и есть требование справедливого баланса интересов. Это достаточно стандартная формулировка, применяемая как в международных конвенциях так в национальных законах. Заметьте, что Конвенция перечисляет, какие именно соображения можно класть на вторую сторону баланса (охрана здоровья, безопасность, и т.д.).