Булгары то, с хазарами воевали, а вот тюрки (тюркюты), наоборот. Тюрки на пике могущества держали в узде большинство кочевых народов Евразии. А Сибир-хан (Орган-хан, Моходу-хэу) стоял у истоков Великой Болгарии, его потомки правили Хазарией, пока евреи не лишили их реальной власти. Возможно какие-то ветви Ашина сохранились у половцев или тех же болгар, кочевники были очень плодовиты, посмотрите на Чингисидов или Сельджукидов, и они потом всплыли в Причерноморских степях и в Болгарии в XII в. Конечно никаких документов подтверждающих это пока не найдено, но эта версия тоже имеет право на жизнь. тем более возникла она тоже не на пустом месте.