Судя по вики, бейликов было не менее 18
Они не одновременно существовали.
После поражения византийцев при Манцикерте до 1100 г. образовалось 8 бейликов. Некоторые из них исчезли очень скоро: например, Чака Бей захватил Смирну, острова Хиос, Лесбос, Самос и Родос. Вероятно, правил в Смирне и его сын. Но император Алексей I Комнин вернул Смирну в состав империи. Рядом со Смирной, в районе Эфеса (это была в то время небольшая деревня) существовал бейлик Танрывермиш Бея, тоже быстро завоеванный византийцами.
Другие из этих бейликов просуществовали дольше: Артукиды правили до 1408 года.
После столкновения между монголами и сельджуками при Кёсе-даге в 1243 году Конийский султанат фактически распался, и образовалось множество новых бейликов. Некоторые из них на месте старых: в Эрдзинджане вместо Менгучегидов Эретнаогуллары, в Малатье вместо Данишмендидов Дхулкадирогуллары., в Смирне вместо Чака Бея Айдыногуллары.
Всего в первой группе бейликов их было не менее 9 (считая и Танрывермиш Бея), во второй не менее 18.
А какой (какие) из бейликов были самыми сильными в 13 - 1 четверти 14 в?
Самым-самым был бейлик Караманидов. Первоначально это был пограничный удел (удж) Конийского султаната. Сельджуки давали такие земли кочевым тюркским племенам с целью защиты своих границ от неверных. Иногда во главе такого удела ставили и византийцев: будущий император Михаил Палеолог был стратегом в акроне (приграничной византийской области), а затем сельджуки назначили его удж-беем, то есть верховным главнокомандующим уджа. Сельджуки не воевали с Византией, но разрешали удж-беям совершать на неё набеги. В набеге обычно участвовали мусульмане из бедных или разорившихся семей, не имевшие земли и имущества. Они нападали на проезжавших по дороге мирных невооруженных граждан и на небольшие поселения. В результате неверные собаки оказались загнаны в несколько крупных городов и боялись высунуть оттуда свои грязные носы. Удж-беи захватили эти города, в результате кочевники начали становиться оседлыми, а уджи постепенно превращаться в бейлики.
Караманиды сопротивлялись Османам до конца XV века.
Бейлик Османов также был таким уджем, очень небольшим. Первоначально там не собирали никаких налогов, поэтому византийцы, не желавшие платить подати, бежали туда, отчего население уджа значительно выросло. Когда же с неверных стали брать джизию, бежать назад было уже поздно.
Довольно крупным был бейлик Эретнидов на востоке и в центре Малой Азии. Первоначально это были вассалы персидских Ильханов, поэтому на этой территории жили не только тюрки, но и персы. Но уже при преемниках Эретны с середины XIV века он стал терять свои территории, на которых образовались новые бейлики.
На северо-западе Малой Азии был крупный бейлик Карасы, где правила ветвь Данишмендидов. Но поскольку они оказались соседями Османов, те их быстро завоевали в начале 1360-х годов.
В западной части Малой Азии в начале XIV века самым сильным бейликом был Гермиян (южнее Османов). Другие западноанатолийские эмиры или подчинялись ему, или принадлежали к ветвям правившей в Гермияне династии.
Бейлики на побережье Эгейского моря использовали своё выгодное положение, чтобы построить флот и заниматься пиратством. Что приносило им немалый доход.